Математический анализ Примеры

$f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 \cdot x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 0.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.5 x^{4}$ по $x$ равна $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = - 0.5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $- 0.5$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{3} + 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x^{2} + 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x^{2} = - 6$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 6 x^{2} = - 6$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 6 x^{2} = - 6$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 6}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 6$ на $- 6$ .

$x^{2} = 1$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ в $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - 0.5 \cdot {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $- 0.5$ на $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3 {(1)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3$

Этап 3.1.2.2

Добавим $- 0.5$ и $3$ .

$f (1) = 2.5$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $2.5$ .

$2.5$

Этап 3.2

Подставляя $1$ в $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ , найдем точку $(1, 2.5)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1, 2.5)$

Этап 3.3

Подставим $- 1$ в $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 0.5 \cdot {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $- 0.5$ на $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 0.5$ и $3$ .

$f (- 1) = 2.5$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $2.5$ .

$2.5$

Этап 3.4

Подставляя $- 1$ в $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ , найдем точку $(- 1, 2.5)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, 2.5)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(1, 2.5), (- 1, 2.5)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 6 {(- 1.1)}^{2} + 6$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 6$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26 + 6$

Этап 5.2.2

Добавим $- 7.26$ и $6$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.26$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 1.26$ .

$- 1.26$

Этап 5.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $- 1.26$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 6$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$f'' (0) = 6$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1, 1)$ .

Возрастание в области $(- 1, 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 6 {(1.1)}^{2} + 6$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.1$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 6$ на $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 7.26 + 6$

Этап 7.2.2

Добавим $- 7.26$ и $6$ .

$f'' (1.1) = - 1.26$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 1.26$ .

$- 1.26$

Этап 7.3

При $1.1$ вторая производная имеет вид $- 1.26$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(1, \infty)$ .

Убывание на $(1, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 2.5), (1, 2.5)$ .

$(- 1, 2.5), (1, 2.5)$

Этап 9