Математический анализ Примеры

$\sin (x^{2} y) = x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} y$ .

$\cos (x^{2} y) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + y (2 x))$

Этап 2.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y') + \cos (x^{2} y) (2 y x)$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y)$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y) = 1$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y)$ .

$x^{2} y' \cos (x^{2} y) + 2 x y \cos (x^{2} y) = 1$

Этап 5.2

Вычтем $2 x y \cos (x^{2} y)$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$ на $x^{2} \cos (x^{2} y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$ на $x^{2} \cos (x^{2} y)$ .

$\frac{x^{2} y' \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y' \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \cos (x^{2} y)}{\cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x^{2} y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \cos (x^{2} y)}{\cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Разделим дроби.

$y' = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x^{2} y)}$ в $\sec (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{1}{x^{2}} \sec (x^{2} y) + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\sec (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.3.1.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y \cos (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \cos (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x (x \cos (x^{2} y))}$

Этап 5.3.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x (x \cos (x^{2} y))}$

Этап 5.3.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y \cos (x^{2} y)}{x \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.3.1.5

Сократим общий множитель $\cos (x^{2} y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y \cos (x^{2} y)}{x \cos (x^{2} y)}$

Этап 5.3.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y}{x}$

Этап 5.3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$