Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5}{x + 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}}{x + 1}$

Этап 1.2

Объединим $- 5$ и $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} + \frac{- 5 x}{x}}{x + 1}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 5 - 5 x}{x}}{x + 1}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{- 5 - 5 x}{x}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} - 5 - 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{- lim_{x \to - 1} 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Этап 3.1.2.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 5 - 5 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{- 5 - 5 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $- 5$ и $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Этап 3.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Этап 3.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.5.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $- 5 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $5$ из $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.11

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \cdot 1}$

Этап 3.3.13

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + x + 1}$

Этап 3.3.14

Добавим $x$ и $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{2 x + 1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 5 lim_{x \to - 1} \frac{1}{2 x + 1}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 4.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$- 5 \frac{1}{2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{- 2 + 1}$

Этап 6.1.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 5 (\frac{1}{- 1})$

Этап 6.2

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Этап 6.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$5$