Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x^{2} - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Этап 1.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x)$

Этап 1.2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 1} x$

Этап 1.2.4.3

Объединим $\frac{2}{x^{2} - 1}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.3.2

Умножим $x^{2} - 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 2.9

Объединим $2$ и $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.10.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2 x}{x^{2} - 1} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6