Математический анализ Примеры

$e^{x} \sin (x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) e^{x}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок членов.

$2 e^{x} x \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x} x \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$ .

$2 x e^{x} \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$