Математический анализ Примеры

$3 x^{3} - 3 y^{3} = - 4 x^{2} y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 3 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$9 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$9 x^{2} - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} y')$

Этап 2.3.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$9 x^{2} - 9 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2} y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$- 4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x^{2} y') - 4 (2 y x)$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 4 x^{2} y' - 8 y x$

Этап 3.6.3

Изменим порядок членов.

$- 4 x^{2} y' - 8 x y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' = - 4 x^{2} y' - 8 x y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $4 x^{2} y'$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y$

Этап 5.2

Вычтем $9 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $4 x^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2})$ .

$y' (- 9 y^{2} + 4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.4

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$y' (- 9 y^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.5

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

$y' (- {(3 y)}^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.6

Изменим порядок $- {(3 y)}^{2}$ и ${(2 x)}^{2}$ .

$y' ({(2 x)}^{2} - {(3 y)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 3 y$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - (3 y))) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - 3 y)) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Этап 5.9

Разделим каждый член $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ на $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Разделим каждый член $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ на $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Этап 5.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Сократим общий множитель $2 x + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Этап 5.9.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Этап 5.9.2.2

Сократим общий множитель $2 x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Этап 5.9.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Этап 5.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Этап 5.9.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$