Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{2} (3 u - 2) (u + 1) d u$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{2} 3 u (u + 1) - 2 (u + 1) d u$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 u \cdot 1 - 2 (u + 1) d u$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 u \cdot 1 - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Этап 1.4

Перенесем $u$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Этап 1.5

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 (u^{1} u) + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Этап 1.6

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Этап 1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{1 + 1} + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Этап 1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Этап 1.9

Умножим $3$ на $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Этап 1.10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 u - 2 u - 2 d u$

Этап 1.11

Вычтем $2 u$ из $3 u$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + u - 2 d u$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} d u + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2} + - 2 u]_{- 1}^{2}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2}$ и $- 2 u]_{- 1}^{2}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2} - 2 u]_{- 1}^{2}$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} u^{2} - 2 u]_{- 1}^{2}$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2} - 2 u$ в $2$ и в $- 1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$3 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{8 + 1}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.7

Добавим $8$ и $1$ .

$3 (\frac{9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.8

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 \frac{3 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{3}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.8.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \cdot 3 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.9

Умножим $3$ на $3$ .

$9 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$9 + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$9 + \frac{4}{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.12

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$9 + \frac{2}{1} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.12.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$9 + 2 - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.13

Умножим $- 2$ на $2$ .

$9 + 2 - 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.14

Вычтем $4$ из $2$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.15

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.16

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot - 1)$

Этап 8.2.3.17

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + 2)$

Этап 8.2.3.18

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.2.3.19

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 8.2.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 - 2 - \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Этап 8.2.3.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.21.1

Умножим $2$ на $2$ .

$9 - 2 - \frac{1 + 4}{2}$

Этап 8.2.3.21.2

Добавим $1$ и $4$ .

$9 - 2 - \frac{5}{2}$

Этап 8.2.3.22

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 8.2.3.23

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 8.2.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 + \frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2}$

Этап 8.2.3.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.25.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$9 + \frac{- 4 - 5}{2}$

Этап 8.2.3.25.2

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$9 + \frac{- 9}{2}$

Этап 8.2.3.26

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 - \frac{9}{2}$

Этап 8.2.3.27

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 8.2.3.28

Объединим $9$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 8.2.3.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 \cdot 2 - 9}{2}$

Этап 8.2.3.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.30.1

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{18 - 9}{2}$

Этап 8.2.3.30.2

Вычтем $9$ из $18$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$4.5$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{2}$

Этап 10