Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

Этап 7

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

Этап 7.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$u_{lower} = - 15$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

Этап 7.5

Умножим $5$ на $5$ .

$u_{upper} = 25$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 8

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $- 3$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Этап 11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $25$ и в $- 15$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.3

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.3.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.6

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1

Умножим $9$ на $3$ .

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.8.2

Добавим $125$ и $27$ .

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.9

Объединим $5$ и $\frac{152}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.10

Умножим $5$ на $152$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Этап 11.3.11

Чтобы записать $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.3.12

Объединим $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Этап 11.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Этап 11.3.14

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Этап 11.3.15

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Этап 11.3.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Десятичная форма:

$- 14400979614.1438$

Этап 13