Математический анализ Примеры

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{i}{n}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Этап 1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Этап 1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

Этап 1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ на $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

Этап 2

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $n$ из $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ .

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

Этап 4.2

Объединим $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ и $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

Этап 4.3

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

Этап 4.4

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Этап 4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

Этап 4.7.2

Перепишем $n^{2} - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

Этап 4.7.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = n$ и $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$