Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{3} + x^{2} - 1}{2 x^{3} + 7 x - 8}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2

Разделим $10$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{10 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{10 + 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 5.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 5.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Этап 7

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 8

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $10 + 0 - 0$ и $2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- 1 (- 10) + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.2

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$\frac{- 1 \cdot - 10 - 1 \cdot 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot - 10 - 1 \cdot 0$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0) - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 0$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0) - (0)}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot (- 10 + 0) - (0)$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.6

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.7

Вынесем множитель $2$ из $- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1) + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $0 \cdot 7$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1) + 2 (0 \cdot 7) - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (0 \cdot 7)$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7) - 8 \cdot 0}$

Этап 9.1.8.4

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \cdot 0$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7) + 2 (- 4 \cdot 0)}$

Этап 9.1.8.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (1 + 0 \cdot 7) + 2 (- 4 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0)}$

Этап 9.1.8.6

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0)}$

Этап 9.1.8.7

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0)}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 5 + 0$ и $0$ .

$\frac{- 1 (- 5 + 0)}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Этап 9.2.2

Добавим $- 5$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $0$ на $7$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 - 4 \cdot 0}$

Этап 9.3.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 + 0}$

Этап 9.3.3

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0}$

Этап 9.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1}$

Этап 9.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{5}{1}$

Этап 9.5

Разделим $5$ на $1$ .

$5$