Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{5} [4 y - (y^{2} - 5)] d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{5} 4 y - (y^{2} - 5) d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{5} 4 y d y + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 1}^{5} y d y + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Этап 6

Умножим $- (y^{2} - 5)$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} - - 5 d y$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} + 5 d y$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - \int_{- 1}^{5} y^{2} d y + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Этап 10

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $5$ и в $- 1$ .

$4 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $5$ и в $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Этап 13.3

Найдем значение $5 y$ в $5$ и в $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{25 - 1}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.4

Вычтем $1$ из $25$ .

$4 (\frac{24}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.5

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{12}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.5.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$4 \cdot 12 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.6

Умножим $4$ на $12$ .

$48 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.7

Возведем $5$ в степень $3$ .

$48 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$48 - (\frac{125}{3} - \frac{- 1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$48 - (\frac{125}{3} - - \frac{1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$48 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.11

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$48 - (\frac{125}{3} + \frac{1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$48 - \frac{125 + 1}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.13

Добавим $125$ и $1$ .

$48 - \frac{126}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.14

Сократим общий множитель $126$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $126$ .

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3 (1)} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$48 - \frac{42}{1} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.14.2.4

Разделим $42$ на $1$ .

$48 - 1 \cdot 42 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.15

Умножим $- 1$ на $42$ .

$48 - 42 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.16

Вычтем $42$ из $48$ .

$6 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.17

Умножим $5$ на $5$ .

$6 + 25 - 5 \cdot - 1$

Этап 13.4.18

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$6 + 25 + 5$

Этап 13.4.19

Добавим $25$ и $5$ .

$6 + 30$

Этап 13.4.20

Добавим $6$ и $30$ .

$36$

Этап 14