Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - 3 x^{3} - 81 x^{2} - 16$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{4} x^{4} - 3 x^{3} - 81 x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{3}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{4} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{12}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{3}$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $3 x^{3}$ на $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- 81 x^{2}$ по $x$ равна $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 81$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ и $0$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 162 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 162$ является константой относительно $x$ , производная $- 162 x$ по $x$ равна $- 162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 18 x - 162 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 18 x - 162 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 162$ на $1$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 18 x - 162$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{12}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{3}$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $3 x^{3}$ на $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- 81 x^{2}$ по $x$ равна $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 81$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x^{2} - 162 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 9 x^{2}$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3 x) - 162 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $- 162 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3 x) + 3 x (- 54) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3 x)$ .

$3 x (x^{2} - 3 x) + 3 x (- 54) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2} - 3 x) + 3 x (- 54)$ .

$3 x (x^{2} - 3 x - 54) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 54$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 54$ , а сумма — $- 3$ .

$- 9, 6$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 x ((x - 9) (x + 6)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 x (x - 9) (x + 6) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 5.6

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x - 9) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, 9, - 6$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 9, - 6$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$9 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 162$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$9 \cdot 0 - 18 \cdot 0 - 162$

Этап 9.1.2

Умножим $9$ на $0$ .

$0 - 18 \cdot 0 - 162$

Этап 9.1.3

Умножим $- 18$ на $0$ .

$0 + 0 - 162$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 162$

Этап 9.2.2

Вычтем $162$ из $0$ .

$- 162$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 81 {(0)}^{2} - 16$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{3}{4} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3} - 81 {(0)}^{2} - 16$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3} - 81 {(0)}^{2} - 16$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - 81 {(0)}^{2} - 16$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 81 {(0)}^{2} - 16$

Этап 11.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 81 \cdot 0 - 16$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 81$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 16$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 16$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 16$

Этап 11.2.2.3

Вычтем $16$ из $0$ .

$f (0) = - 16$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$y = - 16$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 9$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$9 {(9)}^{2} - 18 \cdot 9 - 162$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим $9$ на ${(9)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Умножим $9$ на ${(9)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1.1

Возведем $9$ в степень $1$ .

$9^{1} {(9)}^{2} - 18 \cdot 9 - 162$

Этап 13.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9^{1 + 2} - 18 \cdot 9 - 162$

Этап 13.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$9^{3} - 18 \cdot 9 - 162$

Этап 13.1.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$729 - 18 \cdot 9 - 162$

Этап 13.1.3

Умножим $- 18$ на $9$ .

$729 - 162 - 162$

Этап 13.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $162$ из $729$ .

$567 - 162$

Этап 13.2.2

Вычтем $162$ из $567$ .

$405$

Этап 14

$x = 9$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 9$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f (9) = \frac{3}{4} \cdot {(9)}^{4} - 3 {(9)}^{3} - 81 {(9)}^{2} - 16$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $9$ в степень $4$ .

$f (9) = \frac{3}{4} \cdot 6561 - 3 {(9)}^{3} - 81 {(9)}^{2} - 16$

Этап 15.2.1.2

Умножим $\frac{3}{4} \cdot 6561$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $6561$ .

$f (9) = \frac{3 \cdot 6561}{4} - 3 {(9)}^{3} - 81 {(9)}^{2} - 16$

Этап 15.2.1.2.2

Умножим $3$ на $6561$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 3 {(9)}^{3} - 81 {(9)}^{2} - 16$

Этап 15.2.1.3

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 3 \cdot 729 - 81 {(9)}^{2} - 16$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 3$ на $729$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 2187 - 81 {(9)}^{2} - 16$

Этап 15.2.1.5

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 2187 - 81 \cdot 81 - 16$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 81$ на $81$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 2187 - 6561 - 16$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $- 2187$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187}{1} - 6561 - 16$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{- 2187}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187}{1} \cdot \frac{4}{4} - 6561 - 16$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{- 2187}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} - 6561 - 16$

Этап 15.2.2.4

Запишем $- 6561$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561}{1} - 16$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{- 6561}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561}{1} \cdot \frac{4}{4} - 16$

Этап 15.2.2.6

Умножим $\frac{- 6561}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561 \cdot 4}{4} - 16$

Этап 15.2.2.7

Запишем $- 16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561 \cdot 4}{4} + \frac{- 16}{1}$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561 \cdot 4}{4} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 15.2.2.9

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561 \cdot 4}{4} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (9) = \frac{19683 - 2187 \cdot 4 - 6561 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $- 2187$ на $4$ .

$f (9) = \frac{19683 - 8748 - 6561 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 6561$ на $4$ .

$f (9) = \frac{19683 - 8748 - 26244 - 16 \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $- 16$ на $4$ .

$f (9) = \frac{19683 - 8748 - 26244 - 64}{4}$

Этап 15.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Вычтем $8748$ из $19683$ .

$f (9) = \frac{10935 - 26244 - 64}{4}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $26244$ из $10935$ .

$f (9) = \frac{- 15309 - 64}{4}$

Этап 15.2.5.3

Вычтем $64$ из $- 15309$ .

$f (9) = \frac{- 15373}{4}$

Этап 15.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (9) = - \frac{15373}{4}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{15373}{4}$ .

$y = - \frac{15373}{4}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$9 {(- 6)}^{2} - 18 \cdot - 6 - 162$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$9 \cdot 36 - 18 \cdot - 6 - 162$

Этап 17.1.2

Умножим $9$ на $36$ .

$324 - 18 \cdot - 6 - 162$

Этап 17.1.3

Умножим $- 18$ на $- 6$ .

$324 + 108 - 162$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Добавим $324$ и $108$ .

$432 - 162$

Этап 17.2.2

Вычтем $162$ из $432$ .

$270$

Этап 18

$x = - 6$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 6$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{3}{4} \cdot {(- 6)}^{4} - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$f (- 6) = \frac{3}{4} \cdot 1296 - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 19.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1296$ .

$f (- 6) = \frac{3}{4} \cdot (4 (324)) - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 19.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 6) = \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot 324) - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 19.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 6) = 3 \cdot 324 - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 19.2.1.3

Умножим $3$ на $324$ .

$f (- 6) = 972 - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 19.2.1.4

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f (- 6) = 972 - 3 \cdot - 216 - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 19.2.1.5

Умножим $- 3$ на $- 216$ .

$f (- 6) = 972 + 648 - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 19.2.1.6

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f (- 6) = 972 + 648 - 81 \cdot 36 - 16$

Этап 19.2.1.7

Умножим $- 81$ на $36$ .

$f (- 6) = 972 + 648 - 2916 - 16$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Добавим $972$ и $648$ .

$f (- 6) = 1620 - 2916 - 16$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $2916$ из $1620$ .

$f (- 6) = - 1296 - 16$

Этап 19.2.2.3

Вычтем $16$ из $- 1296$ .

$f (- 6) = - 1312$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 1312$ .

$y = - 1312$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - 3 x^{3} - 81 x^{2} - 16$ .

$(0, - 16)$ — локальный максимум

$(9, - \frac{15373}{4})$ — локальный минимум

$(- 6, - 1312)$ — локальный минимум

Этап 21