Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \sin (5 x - 4)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (5 x - 4)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (5 x - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (5 x - 4)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 5 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x - 4$ .

$3 (\cos (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $5 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 \cos (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cos (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.3.4

Умножим $5$ на $1$ .

$3 \cos (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \cos (5 x - 4) (5 + 0)$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $5$ и $0$ .

$3 \cos (5 x - 4) \cdot 5$

Этап 1.3.6.2

Умножим $5$ на $3$ .

$15 \cos (5 x - 4)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 \cos (5 x - 4)$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [\cos (5 x - 4)]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (\cos (5 x - 4))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x - 4$ .

$f'' (x) = 15 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 15 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x - 4$ .

$f'' (x) = 15 (- \sin (5 x - 4) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $15$ .

$f'' (x) = - 15 (\sin (5 x - 4) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $5 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Этап 2.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Этап 2.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $5$ и $0$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) \cdot 5$

Этап 2.3.7.2

Умножим $5$ на $- 15$ .

$f'' (x) = - 75 \sin (5 x - 4)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$15 \cos (5 x - 4) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $15 \cos (5 x - 4) = 0$ на $15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $15 \cos (5 x - 4) = 0$ на $15$ .

$\frac{15 \cos (5 x - 4)}{15} = \frac{0}{15}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 \cos (5 x - 4)}{15} = \frac{0}{15}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (5 x - 4)$ на $1$ .

$\cos (5 x - 4) = \frac{0}{15}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $15$ .

$\cos (5 x - 4) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$5 x - 4 = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$5 x - 4 = \frac{π}{2}$

Этап 7

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5 x = \frac{π}{2} + 4$

Этап 8

Разделим каждый член $5 x = \frac{π}{2} + 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{π}{2} + 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 8.3.1.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 5} + \frac{4}{5}$

Этап 8.3.1.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$

Этап 9

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$5 x - 4 = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 x - 4 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$5 x - 4 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x - 4 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 10.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x - 4 = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 10.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$5 x - 4 = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5 x = \frac{3 π}{2} + 4$

Этап 10.3

Разделим каждый член $5 x = \frac{3 π}{2} + 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{3 π}{2} + 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 10.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 10.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 10.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 10.3.3.1.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5} + \frac{4}{5}$

Этап 10.3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$

Этап 11

Решение уравнения $5 x - 4 = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}, \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 75 \sin (5 (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 75 \sin (5 \frac{π}{10} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 13.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$- 75 \sin (5 \frac{π}{5 (2)} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 13.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- 75 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 13.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 13.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 4 - 4)$

Этап 13.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 0)$

Этап 13.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$- 75 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 13.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 75 \cdot 1$

Этап 13.4

Умножим $- 75$ на $1$ .

$- 75$

Этап 14

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{10}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{5 (2)}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 15.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{5 \cdot 2}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 15.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 15.2.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 15.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 4 - 4)$

Этап 15.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 0)$

Этап 15.2.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 15.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \cdot 1$

Этап 15.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 75 \sin (5 (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{10} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 17.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{5 (2)} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 17.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{5 \cdot 2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 17.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 17.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 17.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 4 - 4)$

Этап 17.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 0)$

Этап 17.2.2

Добавим $\frac{3 π}{2}$ и $0$ .

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 75 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 17.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 75 (- 1 \cdot 1)$

Этап 17.5

Умножим $- 75 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 75 \cdot - 1$

Этап 17.5.2

Умножим $- 75$ на $- 1$ .

$75$

Этап 18

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{10}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 19.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{5 (2)}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 19.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{5 \cdot 2}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 19.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 19.2.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Этап 19.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 4 - 4)$

Этап 19.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 0)$

Этап 19.2.2.2

Добавим $\frac{3 π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.3

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 19.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 19.2.5

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \cdot - 1$

Этап 19.2.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = - 3$

Этап 19.2.6

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 \sin (5 x - 4)$ .

$(\frac{π}{10} + \frac{4}{5}, 3)$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}, - 3)$ — локальный минимум

Этап 21