Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} \ln (- 5 - 2 x)}$

Этап 1.3.1.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to - 3} - 5 - 2 x)}$

Этап 1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- lim_{x \to - 3} 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Этап 1.3.1.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Этап 1.3.1.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 \cdot - 3)}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 + 6)}$

Этап 1.3.3.2

Добавим $- 5$ и $6$ .

$\frac{0}{3 \ln (1)}$

Этап 1.3.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Этап 1.3.3.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{x + 3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.3.6

Умножим $e^{x + 3}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.5

Добавим $e^{x + 3}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (- 5 - 2 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]}$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Этап 3.7.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{- 5 - 2 x}$ и $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x]}$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $- 5 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Этап 3.10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Этап 3.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Этап 3.12

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.13

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{- 5 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 2 \cdot 3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.14

Умножим $- 2$ на $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \cdot 1}$

Этап 3.17

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x}}$

Этап 3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - 2 x}}$

Этап 3.18.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - (2 x)}}$

Этап 3.18.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (2 x)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5 + 2 x)}}$

Этап 3.18.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- - \frac{6}{5 + 2 x}}$

Этап 3.18.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{1 \frac{6}{5 + 2 x}}$

Этап 3.18.6

Умножим $\frac{6}{5 + 2 x}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{6}{5 + 2 x}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \frac{5 + 2 x}{6}$

Этап 5

Объединим $e^{x + 3}$ и $\frac{5 + 2 x}{6}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (5 + 2 x)}{6}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} (5 + 2 x)$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Этап 8

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Этап 10

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (lim_{x \to - 3} 5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

Этап 12

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

Этап 13

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{1}{6} e^{0} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Этап 15.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Этап 15.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Этап 15.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot (5 - 6)$

Этап 15.5

Вычтем $6$ из $5$ .

$\frac{1}{6} \cdot - 1$

Этап 15.6

Объединим $\frac{1}{6}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{6}$

Этап 15.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6}$