Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - x^{3}}{4 x^{5} + 1}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3}}{x^{5}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{5}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2.2.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{5}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{5}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 5.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$

Этап 6

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{4 + 0}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $2 \cdot 0 - 0$ и $4 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \cdot 0$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0) - 0}{4 + 0}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 0$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0) - (0)}{4 + 0}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 \cdot 0) - (0)$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0 + 0)}{4 + 0}$

Этап 7.1.4

Перепишем $- (- 2 \cdot 0 + 0)$ в виде $- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)$ .

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)}{4 + 0}$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $4$ из $- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 + 0}$

Этап 7.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 (1) + 0}$

Этап 7.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}$

Этап 7.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot (1 + 0)}$

Этап 7.1.6.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot (1 + 0)}$

Этап 7.1.6.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)}{1 + 0}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{- 1 (0 + 0)}{1 + 0}$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1 + 0}$

Этап 7.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1}$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 7.5

Разделим $0$ на $1$ .

$0$