Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{3} - 4 x + 2 x^{6}}{5 x^{9} - 3 x^{2}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{9}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x^{3}}{x^{9}} + \frac{- 4 x}{x^{9}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $7 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{9}} + \frac{- 4 x}{x^{9}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{9}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{3} x^{6}} + \frac{- 4 x}{x^{9}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{3} x^{6}} + \frac{- 4 x}{x^{9}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} + \frac{- 4 x}{x^{9}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} + \frac{x \cdot - 4}{x^{9}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{9}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{8}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{8}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} + \frac{- 4}{x^{8}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2 x^{6}}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $2 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{x^{6} \cdot 2}{x^{9}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{9}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{x^{6} \cdot 2}{x^{6} x^{3}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{x^{6} \cdot 2}{x^{6} x^{3}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{\frac{5 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{5 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{9}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{9}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{9}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{7}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{7}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{5 + \frac{- 3}{x^{7}}}$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{6}} - \frac{4}{x^{8}} + \frac{2}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{6}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{8}} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 2.5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{8}} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{6}}$ стремится к $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{8}} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{8}} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{8}}$ стремится к $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 8.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{7}}}$

Этап 8.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{5 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{7}}}$

Этап 9

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{7}}$ стремится к $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{5 - 3 \cdot 0}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{5 - 3 \cdot 0}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{0 + 0 + 2 \cdot 0}{5 - 3 \cdot 0}$

Этап 10.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{5 - 3 \cdot 0}$

Этап 10.1.4

Добавим $0 + 0$ и $0$ .

$\frac{0 + 0}{5 - 3 \cdot 0}$

Этап 10.1.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{5 - 3 \cdot 0}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{0}{5 + 0}$

Этап 10.2.2

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{0}{5}$

Этап 10.3

Разделим $0$ на $5$ .

$0$