Математический анализ Примеры

$\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{15}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{15} x^{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $6$ и $\frac{1}{15}$ .

$\frac{6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{6}{15}$ и $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $6$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{5}$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $\frac{25}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{25}{6} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{25}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{6} (4 x^{3})$

Этап 2.1.4.3

Объединим $4$ и $\frac{25}{6}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{4 \cdot 25}{6} x^{3}$

Этап 2.1.4.4

Умножим $4$ на $25$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{100}{6} x^{3}$

Этап 2.1.4.5

Объединим $\frac{100}{6}$ и $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{100 x^{3}}{6}$

Этап 2.1.4.6

Сократим общий множитель $100$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $100 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{6}$

Этап 2.1.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{2 (3)}$

Этап 2.1.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.1.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{50 x^{3}}{3}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{50 x^{3}}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $\frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{5}}{5}$ по $x$ равна $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.5

Объединим $\frac{10}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.6

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.6.2.4

Разделим $2 x^{4}$ на $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $\frac{50}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{50 x^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{50}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50}{3} (3 x^{2})$

Этап 2.2.4.3

Объединим $3$ и $\frac{50}{3}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 \cdot 50}{3} x^{2}$

Этап 2.2.4.4

Умножим $3$ на $50$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{150}{3} x^{2}$

Этап 2.2.4.5

Объединим $\frac{150}{3}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{150 x^{2}}{3}$

Этап 2.2.4.6

Сократим общий множитель $150$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $150 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3}$

Этап 2.2.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3 (1)}$

Этап 2.2.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50 x^{2}}{1}$

Этап 2.2.4.6.2.4

Разделим $50 x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $20 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 50 x^{2} = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $50 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (25) = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (25) = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (25)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 3.2.2.3

Перепишем многочлен.

$2 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$2 x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 3.5.2

Решим ${(x + 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 5$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{15}$ на $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{25}{6} \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $\frac{25}{6}$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $- 5$ в $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{1}{15} \cdot {(- 5)}^{6} + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $6$ .

$f (- 5) = \frac{1}{15} \cdot 15625 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5 (3)} \cdot 15625 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $15625$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot 3125) + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 5) = \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot 3125) + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 5) = \frac{1}{3} \cdot 3125 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3125$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $- 5$ в степень $5$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $- 5$ в степень $4$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25}{6} \cdot 625$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $\frac{25}{6} \cdot 625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1

Объединим $\frac{25}{6}$ и $625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25 \cdot 625}{6}$

Этап 4.3.2.1.6.2

Умножим $25$ на $625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Этап 4.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $\frac{3125}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} \cdot \frac{2}{2} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $\frac{3125}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Этап 4.3.2.2.3

Запишем $- 3125$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125}{1} + \frac{15625}{6}$

Этап 4.3.2.2.4

Умножим $\frac{- 3125}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{15625}{6}$

Этап 4.3.2.2.5

Умножим $\frac{- 3125}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Этап 4.3.2.2.6

Изменим порядок множителей в $3 \cdot 2$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Этап 4.3.2.2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{6} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Этап 4.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2 - 3125 \cdot 6 + 15625}{6}$

Этап 4.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим $3125$ на $2$ .

$f (- 5) = \frac{6250 - 3125 \cdot 6 + 15625}{6}$

Этап 4.3.2.4.2

Умножим $- 3125$ на $6$ .

$f (- 5) = \frac{6250 - 18750 + 15625}{6}$

Этап 4.3.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вычтем $18750$ из $6250$ .

$f (- 5) = \frac{- 12500 + 15625}{6}$

Этап 4.3.2.5.2

Добавим $- 12500$ и $15625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{6}$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{3125}{6}$ .

$\frac{3125}{6}$

Этап 4.4

Подставляя $- 5$ в $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ , найдем точку $(- 5, \frac{3125}{6})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 5, \frac{3125}{6})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 5, \frac{3125}{6})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = 2 {(- 5.1)}^{4} + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 5.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 5.1) = 2 \cdot 676.5201 + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $676.5201$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 5.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 + 20 \cdot - 132.651 + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $20$ на $- 132.651$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $- 5.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 50 \cdot 26.01$

Этап 6.2.1.6

Умножим $50$ на $26.01$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 1300.5$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $2653.02$ из $1353.0402$ .

$f'' (- 5.1) = - 1299.9798 + 1300.5$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 1299.9798$ и $1300.5$ .

$f'' (- 5.1) = 0.5202$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.5202$ .

$0.5202$

Этап 6.3

При $- 5.1$ вторая производная имеет вид $0.5202$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 5)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 5)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 5, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 {(- \frac{5}{2})}^{4} + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (1 (\frac{5^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $5$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{16}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2 (8)}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2 \cdot 8}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.9

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{125}{2^{3}}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{125}{8}$ в числитель.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (\frac{- 125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.11.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 (5) (\frac{- 125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.11.3

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 125}{4 \cdot 2})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.11.4

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 125}{4 \cdot 2})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.11.5

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 5 (\frac{- 125}{2}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.12

Объединим $5$ и $\frac{- 125}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{5 \cdot - 125}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.13

Умножим $5$ на $- 125$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{- 625}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.15

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.15.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})$

Этап 7.2.1.15.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

Этап 7.2.1.16

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

Этап 7.2.1.17

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{5^{2}}{2^{2}})$

Этап 7.2.1.18

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{25}{2^{2}})$

Этап 7.2.1.19

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{25}{4})$

Этап 7.2.1.20

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 (25) (\frac{25}{4})$

Этап 7.2.1.20.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 \cdot (25 (\frac{25}{2 \cdot 2}))$

Этап 7.2.1.20.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 \cdot (25 (\frac{25}{2 \cdot 2}))$

Этап 7.2.1.20.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 25 (\frac{25}{2})$

Этап 7.2.1.21

Объединим $25$ и $\frac{25}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + \frac{25 \cdot 25}{2}$

Этап 7.2.1.22

Умножим $25$ на $25$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + \frac{625}{2}$

Этап 7.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{- 625 + 625}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Добавим $- 625$ и $625$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{0}{2}$

Этап 7.2.2.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 0$

Этап 7.2.2.2.3

Добавим $\frac{625}{8}$ и $0$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $\frac{625}{8}$ .

$\frac{625}{8}$

Этап 7.3

При $- \frac{5}{2}$ вторая производная имеет вид $78.125$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 5, 0)$ .

Возрастание в области $(- 5, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{4} + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $4$ .

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.0001 + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $2$ на $0.0001$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $0.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 20 \cdot 0.001 + 50 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $20$ на $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 50 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.5

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 50 \cdot 0.01$

Этап 8.2.1.6

Умножим $50$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 0.5$

Этап 8.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $0.0002$ и $0.02$ .

$f'' (0.1) = 0.0202 + 0.5$

Этап 8.2.2.2

Добавим $0.0202$ и $0.5$ .

$f'' (0.1) = 0.5202$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0.5202$ .

$0.5202$

Этап 8.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.5202$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. На графике нет точек, удовлетворяющих этим требованиям.

Нет точек перегиба