Математический анализ Примеры

$\int (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + x$ . Тогда $d u = (2 x + 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Этап 2

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + x$ .

$e^{x^{2} + x} + C$