Математический анализ Примеры

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Этап 3

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

Этап 7

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - - 5$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$u_{lower} = 5$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Этап 11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 1$ и в $5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.4

Вычтем $25$ из $1$ .

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.5

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.5.2.4

Разделим $- 12$ на $1$ .

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Этап 11.3.6

Умножим $- 5$ на $- 12$ .

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

Этап 12.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{e}$ .

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

Этап 12.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

Этап 12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Десятичная форма:

$652.18111864 \dots$

Этап 14