Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(5 x^{4} - 3 x^{3} + 7 x + 2)}^{5}$

Этап 1

Вынесем степень $5$ в выражении ${(5 x^{4} - 3 x^{3} + 7 x + 2)}^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 0} 5 x^{4} - 3 x^{3} + 7 x + 2)}^{5}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

${(lim_{x \to 0} 5 x^{4} - lim_{x \to 0} 3 x^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(5 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 3 x^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Этап 4

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 3 x^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Этап 7

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 7 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 7 lim_{x \to 0} x + 2)}^{5}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

${(5 \cdot 0^{4} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 7 lim_{x \to 0} x + 2)}^{5}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

${(5 \cdot 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} + 7 lim_{x \to 0} x + 2)}^{5}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

${(5 \cdot 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(5 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{3} + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Этап 10.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

${(0 - 3 \cdot 0^{3} + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Этап 10.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(0 - 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Этап 10.1.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

${(0 + 0 + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Этап 10.1.5

Умножим $7$ на $0$ .

${(0 + 0 + 0 + 2)}^{5}$

Этап 10.2

Добавим $0$ и $0$ .

${(0 + 0 + 2)}^{5}$

Этап 10.3

Добавим $0$ и $0$ .

${(0 + 2)}^{5}$

Этап 10.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2^{5}$

Этап 10.5

Возведем $2$ в степень $5$ .

$32$