Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (f (x)) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $f (x)$ равна $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{f}{x}$

Этап 5.4

Вычтем $y e^{x y}$ из обеих частей уравнения.

$x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ на $x e^{x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ на $x e^{x y}$ .

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.2

Объединим.

$y' = \frac{f \cdot 1}{x (x e^{x y})} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x \cdot x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.4

Умножим $f$ на $1$ .

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.5

Сократим общий множитель $e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.5.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$