Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 1} \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{3 \ln (3 \cdot - 1 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 \ln (- 3 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.3.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.2.3.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \tan (2 x + 2)}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Этап 1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Этап 1.3.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Этап 1.3.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot - 1 + 2)}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (- 2 + 2)}$

Этап 1.3.3.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{3 \tan (0)}$

Этап 1.3.3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Этап 1.3.3.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (3 x + 4)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{3 x + 4}$ и $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $3 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.10

Добавим $3$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{3}{3 x + 4}$ и $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.12

Умножим $3$ на $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.13

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \tan (2 x + 2)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]}$

Этап 3.14

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Этап 3.14.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Этап 3.14.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Этап 3.15

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Этап 3.16

По правилу суммы производная $2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Этап 3.17

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Этап 3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}$

Этап 3.19

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])}$

Этап 3.20

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + 0)}$

Этап 3.21

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \cdot 2}$

Этап 3.22

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{3 x + 4} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{9}{3 x + 4}$ на $\frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \cdot 3}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 1} \frac{3}{(3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{3}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to - 1} \frac{1}{(3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 4 \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Этап 11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Этап 12

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Этап 13

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (2 x + 2)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot {(lim_{x \to - 1} \sec (2 x + 2))}^{2}}$

Этап 14

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Этап 15

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Этап 16

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Этап 17

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Этап 18

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Этап 18.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Этап 19

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим.

$\frac{3 \cdot 1}{2 ((3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2))}$

Этап 19.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3}{2 (3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Этап 19.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Этап 19.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Этап 19.3.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Этап 19.3.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (0)}$

Этап 19.3.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1^{2}}$

Этап 19.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1}$

Этап 19.3.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.6.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Этап 19.3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3}{2}$