Математический анализ Примеры

$\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{e^{2 - 5 x}} d x$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поменяем знак экспоненты $e^{2 - 5 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{2 - 5 x})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{2 - 5 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{(2 - 5 x) \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 e^{2 \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{- 2 - 5 x \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\int 1 e^{- 2 + 5 x} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $e^{- 2 + 5 x}$ на $1$ .

$\int e^{- 2 + 5 x} d x$

Этап 5

Пусть $u = - 2 + 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - 2 + 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- 2 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + 5 x]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $- 2 + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$0 + 5$

Этап 5.1.4

Добавим $0$ и $5$ .

$5$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$