Математический анализ Примеры

$y = - \frac{1}{5} {(x - 5)}^{2} - 2$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot ((x - 5) (x - 5)) - 2$

Этап 1.2

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x (x - 5) - 5 (x - 5)) - 2$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) - 2$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) - 2$

Этап 1.3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 10 x + 25) - 2$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{2} - \frac{1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{5}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 10 x$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Этап 1.5.2.3

Сократим общий множитель.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Этап 1.5.2.4

Перепишем это выражение.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 1 (- 2 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Этап 1.5.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot 25 - 2$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (5)) - 2$

Этап 1.5.4.3

Сократим общий множитель.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 5) - 2$

Этап 1.5.4.4

Перепишем это выражение.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 1 \cdot 5 - 2$

Этап 1.5.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 5 - 2$

Этап 2

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 7$

Этап 3

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (- 0.2)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{2}{2 (- 0.2)}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{2}{2 (- 0.2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2}{2 \cdot - 0.2}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{1}{- 0.2}$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим $1$ на $- 0.2$ .

$x = - - 5$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$x = 5$

Этап 5

Найдем значение $f (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{5} + 2 (5) - 7$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(5)}^{2}$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из ${(5)}^{2}$ .

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5} + 2 (5) - 7$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5 (1)} + 2 (5) - 7$

Этап 5.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 1} + 2 (5) - 7$

Этап 5.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (5) = - \frac{5}{1} + 2 (5) - 7$

Этап 5.2.1.1.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$f (5) = - 1 \cdot 5 + 2 (5) - 7$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (5) = - 5 + 2 (5) - 7$

Этап 5.2.1.3

Умножим $2$ на $5$ .

$f (5) = - 5 + 10 - 7$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 5$ и $10$ .

$f (5) = 5 - 7$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $7$ из $5$ .

$f (5) = - 2$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(5, - 2)$

Этап 7