Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x))$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Этап 3.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим порядок $\tan (x)$ и $4 \cos (x)$ .

$\int 4 \cos (x) \tan (x) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Этап 3.2.2

Добавим круглые скобки.

$\int 4 (\cos (x) \tan (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

$\int 4 (\tan (x) \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Этап 3.2.4

Выразим $\tan (x) (4 \cos (x))$ через синусы и косинусы.

$\int 4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Этап 3.2.5

Сократим общие множители.

$\int 4 \sin (x) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int 4 \sin (x) + 8 \tan (x) \sec (x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 \sin (x) d x + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \sin (x) d x + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

Этап 6

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$4 (- \cos (x) + C) + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

Этап 7

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$4 (- \cos (x) + C) + 8 \int \tan (x) \sec (x) d x$

Этап 8

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\tan (x) \sec (x)$ , интеграл $\tan (x) \sec (x)$ равен $\sec (x)$ .

$4 (- \cos (x) + C) + 8 (\sec (x) + C)$

Этап 9

Упростим.

$- 4 \cos (x) + 8 \sec (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x))$ .

$F (x) =$ $- 4 \cos (x) + 8 \sec (x) + C$