Математический анализ Примеры

$\int \frac{3}{4 \sqrt{x^{3}}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{3}{4} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{3}{4} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{3}{4} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{3}{4} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 4.2.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 \cdot 2}{4 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 4.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{6}{4 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 4.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 (3)}{2 (2 x^{\frac{1}{2}})} + C$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{\frac{1}{2}})} + C$

Этап 4.2.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$