Математический анализ Примеры

$y = \ln ({(t + 1)}^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = {(t + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 (t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + 0))$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \cdot 1)$

Этап 3.5.2

Умножим $t + 1$ на $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$ .

$(t + 1) \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $t + 1$ из ${(t + 1)}^{2}$ .

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{t + 1}$