Математический анализ Примеры

$x^{3} - y^{3} = y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Этап 3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$ на $- 3 y^{2} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$ на $- 3 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 1)}{- 3 y^{2} - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 3 y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 1)}{- 3 y^{2} - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2}) - 1}$

Этап 5.4.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2}) - 1 (1)}$

Этап 5.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2} + 1)}$

Этап 5.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1

Перепишем $- (3 y^{2} + 1)$ в виде $- 1 (3 y^{2} + 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y^{2} + 1)}$

Этап 5.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Этап 5.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Этап 5.4.3.5.4

Умножим $\frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$