Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Тогда $d u = (6 x + 12) d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 12 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $12$ на $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 12 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $6 x + 12$ и $0$ .

$6 x + 12$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $12$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

Этап 1.5.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

Этап 1.5.1.3

Умножим $12$ на $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $3$ и $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Этап 1.5.3

Добавим $15$ и $1$ .

$u_{upper} = 16$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

Этап 2

Объединим $u^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $16$ и в $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.6

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 5.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 5.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

Этап 5.2.10

Вычтем $2$ из $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

Этап 5.2.11

Сократим общий множитель $126$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $126$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

Этап 5.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Этап 5.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Этап 5.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

Этап 5.2.11.2.4

Разделим $42$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

Этап 5.2.12

Объединим $\frac{1}{6}$ и $42$ .

$\frac{42}{6}$

Этап 5.2.13

Сократим общий множитель $42$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Вынесем множитель $6$ из $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Этап 5.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Этап 5.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Этап 5.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{1}$

Этап 5.2.13.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 6