Математический анализ Примеры

$y = - \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{24}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{24} x^{- 4}$ по $x$ равна $- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- \frac{1}{24} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4 (\frac{1}{24}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{4}{24}$ и $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{24} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.6

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $4$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $24 x^{5}$ .

$\frac{4 (1)}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{3}{20}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{20} x$ по $x$ равна $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Этап 1.5

Поскольку $\frac{5}{18}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{18}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + 0$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$

Этап 1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{6 x^{5}}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.5.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.7

Умножим $x^{- 10}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.7.3

Вычтем $10$ из $4$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.8

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6} x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.9

Объединим $\frac{- 5}{6}$ и $x^{- 6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5 x^{- 6}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.10

Перенесем $x^{- 6}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- \frac{3}{20}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{20}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Этап 3.2.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- \frac{5}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{6 x^{6}}$ по $x$ равна $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{6}}$ в виде ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Этап 3.3.5.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Этап 3.3.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Этап 3.3.7

Умножим $x^{- 12}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $x^{5}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Этап 3.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{5 - 12})$

Этап 3.3.7.3

Вычтем $12$ из $5$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 7})$

Этап 3.3.8

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$- 6 + 6 (\frac{5}{6}) x^{- 7}$

Этап 3.3.9

Объединим $6$ и $\frac{5}{6}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6} x^{- 7}$

Этап 3.3.10

Умножим $6$ на $5$ .

$- 6 + \frac{30}{6} x^{- 7}$

Этап 3.3.11

Объединим $\frac{30}{6}$ и $x^{- 7}$ .

$- 6 + \frac{30 x^{- 7}}{6}$

Этап 3.3.12

Перенесем $x^{- 7}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 + \frac{30}{6 x^{7}}$

Этап 3.3.13

Сократим общий множитель $30$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.13.1

Вынесем множитель $6$ из $30$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Этап 3.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.13.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{7}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 (x^{7})}$

Этап 3.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Этап 3.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$- 6 + \frac{5}{x^{7}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = \frac{5}{x^{7}} - 6$