Математический анализ Примеры

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Этап 1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Этап 1.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.4

Применим формулу Пифагора.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.5

Перепишем $4 \cos^{2} (t)$ в виде ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\int - \frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 3.2.2

Объединим $\cos (t)$ и $\frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\int - \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Этап 6

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Этап 7

Интеграл $\csc (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$