Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.1.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.1.9

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.1.5

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{\frac{4}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.3

Перенесем $- 2$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.5

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.6.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.6.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.6.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.6.5.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.7

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + x \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.8

Объединим $x$ и $\frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{x \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.9

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.10

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.11

Умножим $x$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.11.1

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.11.2

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.11.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.11.5

Добавим $- 2$ и $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.13

Умножим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.14

Чтобы записать $2 x^{\frac{4}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.15

Объединим $2 x^{\frac{4}{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.17

Умножим $3$ на $2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{6 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.18

Добавим $6 x^{\frac{4}{3}}$ и $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.19

Чтобы записать $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.20

Объединим $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.22

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.23

Вычтем $2 x^{\frac{1}{3}}$ из $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.3.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.10.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $\frac{7}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ по $x$ равна $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.6.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.7

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.8

Умножим $\frac{7}{3}$ на $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.9

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.2.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.5.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.9.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.12

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.13

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.13.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.13.4

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.15

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.3.16

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- \frac{8}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ по $x$ равна $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.4.2

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.2.4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.2.4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.2.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.2.4.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.2.4.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.2.4.9

Умножим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ на $\frac{8}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 8}{9}$

Этап 1.2.4.11

Перенесем $8$ влево от $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Этап 1.2.4.12

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Этап 2.2.2

Так как $9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $9, 9, 9, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ .

Этап 2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.2.4

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 2.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.2.6

НОК $9, 9, 9, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3 \cdot 3$

Этап 2.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 2.2.8

НОК $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{5}{3}}$

Этап 2.2.9

НОК $9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $9$ и переменной части.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ умножим на $9 x^{\frac{5}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ на $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$28 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{5}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{5}{3}}$ .

$28 (x^{\frac{5}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$28 x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$28 x^{\frac{5 + 1}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.4

Добавим $5$ и $1$ .

$28 x^{\frac{6}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.5

Разделим $6$ на $3$ .

$28 x^{2} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ в числитель.

$28 x^{2} + \frac{- 2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$28 x^{2} + \frac{- 2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$28 x^{2} - 2 - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.5

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ в числитель.

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.5.2

Вынесем множитель $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ из $9 x^{\frac{2}{3}}$ .

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.5.3

Вынесем множитель $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ из $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{3}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 x^{\frac{3}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$28 x^{2} - 2 - 8 x^{\frac{3}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.6

Разделим $3$ на $3$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x^{1} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.2.1.7

Упростим.

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $9$ на $0$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{5}{3}}$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $28 x^{2} - 2 - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $28 x^{2}$ .

$2 (14 x^{2}) - 2 - 8 x = 0$

Этап 2.4.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (14 x^{2}) + 2 (- 1) - 8 x = 0$

Этап 2.4.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$2 (14 x^{2}) + 2 (- 1) + 2 (- 4 x) = 0$

Этап 2.4.1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (14 x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$2 (14 x^{2} - 1) + 2 (- 4 x) = 0$

Этап 2.4.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (14 x^{2} - 1) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (14 x^{2} - 1 - 4 x) = 0$

Этап 2.4.1.2

Изменим порядок членов.

$2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (14 x^{2} - 4 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (14 x^{2} - 4 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $14 x^{2} - 4 x - 1$ на $1$ .

$14 x^{2} - 4 x - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$14 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Этап 2.4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.4

Подставим значения $a = 14$ , $b = - 4$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (14 \cdot - 1)}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.5.1.2.2

Умножим $- 56$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.5.1.3

Добавим $16$ и $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.5.1.4

Перепишем $72$ в виде $6^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.5.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.5.2

Умножим $2$ на $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Этап 2.4.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Этап 2.4.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.6.1.2.2

Умножим $- 56$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.6.1.3

Добавим $16$ и $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.6.1.4

Перепишем $72$ в виде $6^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.6.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.6.2

Умножим $2$ на $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Этап 2.4.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Этап 2.4.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{14}$

Этап 2.4.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.7.1.2.2

Умножим $- 56$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.7.1.3

Добавим $16$ и $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.7.1.4

Перепишем $72$ в виде $6^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.7.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Этап 2.4.7.2

Умножим $2$ на $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Этап 2.4.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Этап 2.4.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{2 - 3 \sqrt{2}}{14}$

Этап 2.4.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{14}, \frac{2 - 3 \sqrt{2}}{14}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0.4459029$ в $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.4459029$ .

$f (0.4459029) = {(0.4459029)}^{\frac{1}{3}} ({(0.4459029)}^{2} - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $0.4459029$ в степень $\frac{1}{3}$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 ({(0.4459029)}^{2} - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Этап 3.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Возведем $0.4459029$ в степень $2$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (0.1988294 - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $- 2$ на $0.4459029$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (0.1988294 - 0.89180581 + 1)$

Этап 3.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Вычтем $0.89180581$ из $0.1988294$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (- 0.69297641 + 1)$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $- 0.69297641$ и $1$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 \cdot 0.30702358$

Этап 3.1.2.3.3

Умножим $0.76397667$ на $0.30702358$ .

$f (0.4459029) = 0.23455886$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $0.23455886$ .

$0.23455886$

Этап 3.2

Подставляя $0.4459029$ в $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ , найдем точку $(0.4459029, 0.23455886)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.4459029, 0.23455886)$

Этап 3.3

Подставим $- 0.16018862$ в $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.16018862$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} ({(- 0.16018862)}^{2} - 2 \cdot - 0.16018862 + 1)$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 0.16018862$ в степень $2$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.02566039 - 2 \cdot - 0.16018862 + 1)$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 0.16018862$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.02566039 + 0.32037724 + 1)$

Этап 3.3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Добавим $0.02566039$ и $0.32037724$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.34603763 + 1)$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $0.34603763$ и $1$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1.34603763$

Этап 3.3.2.2.3

Перенесем $1.34603763$ влево от ${(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 0.16018862) = 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$ .

$1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3.4

Подставляя $- 0.16018862$ в $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ , найдем точку $(- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0.4459029, 0.23455886), (- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 0.16018862) \cup (- 0.16018862, 0.4459029) \cup (0.4459029, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 0.16018862)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.26018862$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы записать $- \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $\frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}} {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.2.2.2

Умножим ${(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Перенесем ${(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}} {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 5.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 5.2.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Этап 5.2.2.2.4

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.4.1.2

Перепишем это выражение.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 \cdot - 0.26018862}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Найдем экспоненту.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 \cdot - 0.26018862}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.4.2.2

Умножим $- 8$ на $- 0.26018862$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 + 2.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.4.2.3

Добавим $- 2$ и $2.08150896$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.3

При $- 0.26018862$ вторая производная имеет вид $- 2.07155288$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 0.16018862)$ .

Убывание на $(- \infty, - 0.16018862)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 0.16018862, 0.4459029)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.\overline{142857}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{28 {(0.\overline{142857})}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.\overline{142857}$ в степень $\frac{1}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{28 \cdot 0.52275795}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $28$ на $0.52275795$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{14.63722284}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.3

Разделим $14.63722284$ на $9$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $0.\overline{142857}$ в степень $\frac{5}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{9 \cdot 0.03903941} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $9$ на $0.03903941$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{0.3513547} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.6

Разделим $2$ на $0.3513547$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 1 \cdot 5.69225332 - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.7

Умножим $- 1$ на $5.69225332$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.8

Возведем $0.\overline{142857}$ в степень $\frac{2}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{9 \cdot 0.27327588}$

Этап 6.2.1.9

Умножим $9$ на $0.27327588$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{2.45948294}$

Этап 6.2.1.10

Разделим $8$ на $2.45948294$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - 1 \cdot 3.25271618$

Этап 6.2.1.11

Умножим $- 1$ на $3.25271618$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - 3.25271618$

Этап 6.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $5.69225332$ из $1.62635809$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = - 4.06589523 - 3.25271618$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $3.25271618$ из $- 4.06589523$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = - 7.31861142$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 7.31861142$ .

$- 7.31861142$

Этап 6.3

При $0.\overline{142857}$ вторая производная имеет вид $- 7.31861142$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 0.16018862, 0.4459029)$ .

Убывание на $(- 0.16018862, 0.4459029)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0.4459029, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5459029$ .

$f'' (0.5459029) = \frac{28 {(0.5459029)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.5459029$ в степень $\frac{1}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = \frac{28 \cdot 0.81728175}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $28$ на $0.81728175$ .

$f'' (0.5459029) = \frac{22.88388904}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2.1.3

Разделим $22.88388904$ на $9$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $0.5459029$ в степень $\frac{5}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{9 \cdot 0.36463555} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $9$ на $0.36463555$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{3.28171997} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2.1.6

Разделим $2$ на $3.28171997$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 1 \cdot 0.60943652 - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0.60943652$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2.1.8

Возведем $0.5459029$ в степень $\frac{2}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{9 \cdot 0.66794946}$

Этап 7.2.1.9

Умножим $9$ на $0.66794946$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{6.01154515}$

Этап 7.2.1.10

Разделим $8$ на $6.01154515$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - 1 \cdot 1.33077267$

Этап 7.2.1.11

Умножим $- 1$ на $1.33077267$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - 1.33077267$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $0.60943652$ из $2.54265433$ .

$f'' (0.5459029) = 1.93321781 - 1.33077267$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $1.33077267$ из $1.93321781$ .

$f'' (0.5459029) = 0.60244514$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.60244514$ .

$0.60244514$

Этап 7.3

При $0.5459029$ вторая производная имеет вид $0.60244514$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0.4459029, \infty)$ .

Возрастание в области $(0.4459029, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0.4459029, 0.23455886)$ .

$(0.4459029, 0.23455886)$

Этап 9