Математический анализ Примеры

$\frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x + 3}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{x^{2}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 x + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{- 2} d x$

Этап 5

Умножим $(2 x + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x \cdot x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Этап 6

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x) + 3 x^{- 2} d x$

Этап 6.2

Умножим $x^{- 2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 3 x^{- 2} d x$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x^{- 2 + 1} + 3 x^{- 2} d x$

Этап 6.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\int 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Этап 9

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Этап 10

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Этап 12.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Этап 12.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$