Математический анализ Примеры

$x^{2} (- 3 x^{2} - 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = - 3 x^{2} - 2$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 2] + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (- 6 x + 0) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6

Добавим $- 6 x$ и $0$ .

$x^{2} (- 6 x) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 6 + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 6 + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} \cdot - 6 + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} \cdot - 6 + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4

Перенесем $- 6$ влево от $x^{3}$ .

$- 6 \cdot x^{3} + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 6 x^{3} + (- 3 x^{2} - 2) (2 x)$

Этап 6

Перенесем $2$ влево от $- 3 x^{2} - 2$ .

$- 6 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x^{2} - 2) x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x^{3} + (2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 2) x$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x^{3} + 2 (- 3 x^{2}) x + 2 \cdot - 2 x$

Этап 7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 6 x^{3} - 6 x^{2} x + 2 \cdot - 2 x$

Этап 7.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 6 x^{3} - 6 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 2 x$

Этап 7.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x^{3} - 6 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 2 x$

Этап 7.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$- 6 x^{3} - 6 x^{3} + 2 \cdot - 2 x$

Этап 7.3.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 6 x^{3} - 6 x^{3} - 4 x$

Этап 7.3.6

Вычтем $6 x^{3}$ из $- 6 x^{3}$ .

$- 12 x^{3} - 4 x$