Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Пусть $x = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \sec (t) d t$

Этап 3

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$