Математический анализ Примеры

$(x - 1) \sqrt{x}$

Этап 1

Запишем $(x - 1) \sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (x - 1) \sqrt{x} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Развернем $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$