Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} \frac{p}{\sqrt{9 + p^{2}}} d p$

Этап 1

Пусть $u = 9 + p^{2}$ . Тогда $d u = 2 p d p$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = p d p$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 9 + p^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d p}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $9 + p^{2}$ .

$\frac{d}{d p} [9 + p^{2}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $9 + p^{2}$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [9] + \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$\frac{d}{d p} [9] + \frac{d}{d p} [p^{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $9$ является константой относительно $p$ , производная $9$ относительно $p$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d p} [p^{2}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 p$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $2 p$ .

$2 p$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $p$ в $u = 9 + p^{2}$ .

$u_{lower} = 9 + 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 9 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $9$ и $0$ .

$u_{lower} = 9$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $p$ в $u = 9 + p^{2}$ .

$u_{upper} = 9 + 4^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 9 + 16$

Этап 1.5.2

Добавим $9$ и $16$ .

$u_{upper} = 25$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 25$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int_{9}^{25} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{25}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $25$ и в $9$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.5

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 6.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 6.2.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 3^{1})$

Этап 6.2.9

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 3)$

Этап 6.2.10

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{1}{2} (10 - 6)$

Этап 6.2.11

Вычтем $6$ из $10$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

Этап 6.2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2}$

Этап 6.2.13

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 6.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1}$

Этап 6.2.13.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7