Математический анализ Примеры

Let $g (x) = \frac{x^{2} - 3}{x + 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 3$ и $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Разложим $x^{2} + 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 1.1.3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 1) (x + 3) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.3.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = - 1, - 3$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{2} - 3}{x + 2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3}{(- 1) + 2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 - 3}{- 1 + 2}$

Этап 4.1.2.1.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- 2}{- 1 + 2}$

Этап 4.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Этап 4.1.2.2.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 3}{(- 3) + 2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 3}{- 3 + 2}$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{6}{- 3 + 2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 3$ и $2$ .

$\frac{6}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $6$ на $- 1$ .

$- 6$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{(- 2) + 2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{0}$

Этап 4.3.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(- 1, - 2), (- 3, - 6)$

Этап 5