Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = \arctan (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \arctan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.1.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 2.1.4

Переставляем члены.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \arctan (x)$ .

$u_{lower} = \arctan (0)$

Этап 2.3

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \arctan (x)$ .

$u_{upper} = \arctan (1)$

Этап 2.5

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 5.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

Этап 5.2.4

Добавим $\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ и $0$ .

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

Этап 6.2

Применим правило умножения к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

Этап 6.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{π^{2}}{16}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π^{2}}{16}$

Десятичная форма:

$0.61685027 \dots$