Математический анализ Примеры

$y = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Этап 1.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Этап 1.2.3

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ по $x$ равна $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]))$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $x - \frac{1}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Этап 1.2.6

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + 0)))$

Этап 1.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \cdot 1))$

Этап 1.2.8

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{π}{2})$

Этап 1.2.9

Объединим $\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ и $\frac{π}{2}$ .

$0 - 4 \frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$

Этап 1.2.10

Объединим $- 4$ и $\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Этап 1.2.11

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Этап 1.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 (1)}$

Этап 1.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{1}$

Этап 1.2.11.2.4

Разделим $- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ на $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})) π$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2 \cdot 3}) π$

Этап 1.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{6}) π$

Этап 1.3.2.3

Объединим $\frac{π}{2}$ и $x$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Этап 1.3.2.4

Вычтем $2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ из $0$ .

$- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ .

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ по $x$ равна $- 2 π \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 π (\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{2}$ по $x$ равна $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Этап 2.3.5

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Этап 2.3.6

Поскольку $- \frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{6}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + 0)$

Этап 2.3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2})$

Этап 2.3.7.2

Объединим $\frac{π}{2}$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot (π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Этап 2.3.7.3

Объединим $\frac{π \cdot 2}{2}$ и $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (2 π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 2.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 π^{1 + 1}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 2.8

Объединим $\frac{2 π^{2}}{2}$ и $\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Этап 2.9.2

Разделим $π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ на $1$ .

$f'' (x) = π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ на $- 2 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ на $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ на $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- π}$

Этап 4.3.2

Разделим $0$ на $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{π}{6}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Этап 7.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Этап 7.5.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{4 π}{6}$

Этап 7.6

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Этап 7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Этап 7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Этап 8

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 9

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 9.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 9.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 9.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Этап 9.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Этап 9.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Этап 9.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Этап 9.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 10

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 11.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 11.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $\frac{π}{6}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{9 π + π}{6}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $9 π$ и $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{10 π}{6}$

Этап 11.2.6

Сократим общий множитель $10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $10 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Этап 11.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Этап 11.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 11.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Этап 11.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 11.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 11.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 11.4.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 11.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 11.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 11.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Этап 11.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Этап 11.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 2 (\frac{5}{3})$

Этап 11.4.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Этап 11.4.2.1.3

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{10}{3}$

Этап 12

Решение уравнения $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{4}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{4}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 4}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 14.1.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{4 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 14.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π^{2} \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 14.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 14.1.4.2

Сократим общий множитель.

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 14.1.4.3

Перепишем это выражение.

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})$

Этап 14.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 14.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Этап 14.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})$

Этап 14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})$

Этап 14.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})$

Этап 14.6

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Этап 14.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 14.6.2.2

Сократим общий множитель.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 14.6.2.3

Перепишем это выражение.

$π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

Этап 14.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$π^{2} \cdot 1$

Этап 14.8

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$π^{2}$

Этап 15

$x = \frac{4}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{4}{3}$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{4}{3}) - \frac{1}{3}))$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{4 - 1}{3})$

Этап 16.2.1.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 16.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 16.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 1)$

Этап 16.2.1.4

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 16.2.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \cdot 1$

Этап 16.2.1.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4$

Этап 16.2.2

Вычтем $4$ из $- 2$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 6$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$y = - 6$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = \frac{10}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{10}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Объединим $π$ и $\frac{10}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 10}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 18.1.2

Перенесем $10$ влево от $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{10 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 18.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π^{2} \sin (\frac{10 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 18.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 18.1.4.2

Сократим общий множитель.

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 18.1.4.3

Перепишем это выражение.

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})$

Этап 18.2

Чтобы записать $\frac{5 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Этап 18.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Этап 18.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 18.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})$

Этап 18.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})$

Этап 18.5.2

Вычтем $π$ из $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})$

Этап 18.6

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Этап 18.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Этап 18.6.2.2

Сократим общий множитель.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Этап 18.6.2.3

Перепишем это выражение.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 18.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 18.8

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Этап 18.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$π^{2} \cdot - 1$

Этап 18.10

Перенесем $- 1$ влево от $π^{2}$ .

$- 1 \cdot π^{2}$

Этап 18.11

Перепишем $- 1 π^{2}$ в виде $- π^{2}$ .

$- π^{2}$

Этап 19

$x = \frac{10}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{10}{3}$ — локальный максимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = \frac{10}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{10}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{10}{3}) - \frac{1}{3}))$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{10 - 1}{3})$

Этап 20.2.1.2

Вычтем $1$ из $10$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{9}{3})$

Этап 20.2.1.3

Разделим $9$ на $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 20.2.1.4

Объединим $\frac{π}{2}$ и $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Этап 20.2.1.5

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Этап 20.2.1.6

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 20.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 20.2.1.8

Умножим $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \cdot - 1$

Этап 20.2.1.8.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 + 4$

Этап 20.2.2

Добавим $- 2$ и $4$ .

$f (\frac{10}{3}) = 2$

Этап 20.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 21

Это локальные экстремумы $f (x) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ .

$(\frac{4}{3}, - 6)$ — локальный минимум

$(\frac{10}{3}, 2)$ — локальный максимум

Этап 22