Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x}{2}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 3.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Этап 3.2.4

Умножим $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Этап 3.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Этап 3.3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 3.3.3.3

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Этап 3.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Этап 3.3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 3.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

Этап 3.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.3.5.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.5.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

Этап 3.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

Этап 3.3.7

Умножим $\frac{2}{x^{2} + 4}$ на $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 4}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$