Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{7 - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \sqrt{7} \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sqrt{7} \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sqrt{7} \cos (t)$ положительно.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $\sqrt{7} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Умножим на $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель ${\sqrt{7}}^{2}$ из $- ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель ${\sqrt{7}}^{2}$ из ${\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{7^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$\int \sqrt{7 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{7 \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Изменим порядок $7$ и $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\int \cos (t) \sqrt{7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Этап 2.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Этап 2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Этап 2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Этап 2.2.5

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) d t$

Этап 2.2.6

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) d t$

Этап 2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{1 + 1} d t$

Этап 2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{2} d t$

Этап 2.2.9

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Этап 2.2.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Этап 2.2.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Этап 2.2.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Этап 2.2.9.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{1} d t$

Этап 2.2.9.5

Найдем экспоненту.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7 d t$

Этап 2.2.10

Перенесем $7$ влево от $\cos^{2} (t)$ .

$\int 7 \cos^{2} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $7$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int \cos^{2} (t) d t$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$7 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $7$ .

$\frac{7}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{7}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 13

Упростим.

$\frac{7}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 14.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}))) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))) + C$

Этап 15.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}))) + C$

Этап 15.1.2.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}))) + C$

Этап 15.1.2.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}))) + C$

Этап 15.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}))) + C$

Этап 15.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}))) + C$

Этап 15.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Этап 15.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Этап 15.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Этап 15.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Этап 15.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}}))) + C$

Этап 15.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))) + C$

Этап 15.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}) + C$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{7}{2}$ и $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Этап 15.4

Умножим $\frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2 \cdot 2} + C$

Этап 15.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Этап 16.3

Изменим порядок членов.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x) + \frac{7}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x)) + C$