Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{x - 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{x - 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 2 - 1 \cdot 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 2 - 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.2.3.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + 8}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{0}{- 8 + 8}$

Этап 1.1.3.3.2

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6} + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6} + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{x - 6} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 6}$ в виде ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.13

Умножим $\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.3.14

Перенесем ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{3} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Этап 1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 x^{2})}$

Этап 1.5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{9 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{9}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to - 2} \frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Этап 2.5

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Этап 2.7

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Этап 2.8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{9 ({(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2})}$

Этап 4.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{9 {(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{9 {(- 2 - 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$\frac{1}{9 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{9 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}$

Этап 4.3.4

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{1}{36 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.3.5

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{1}{36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.3.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 4.3.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.3.8

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

Этап 4.4

Умножим $36$ на $4$ .

$\frac{1}{144}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{144}$

Десятичная форма:

$0.0069\overline{4}$