Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} \cos (x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} x^{2} \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = \cos (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \sin (x) (2 x) d x)$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \sin (x) (x) d x))$

Этап 4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \sin (x) (x) d x)$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \cos (x) d x))$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Этап 7.2

Умножим $\int_{0}^{1} \cos (x) d x$ на $1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Этап 8

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $x (- \cos (x))]_{0}^{1}$ и $\sin (x)]_{0}^{1}$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $x^{2} \sin (x)$ в $1$ и в $0$ .

$2 ((1^{2} \sin (1)) - 0^{2} \sin (0) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ в $1$ и в $0$ .

$2 ((1^{2} \sin (1)) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 (1 \sin (1) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.2

Умножим $\sin (1)$ на $1$ .

$2 (\sin (1) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\sin (1) - 0 \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\sin (1) + 0 \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.5

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$2 (\sin (1) + 0 - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.6

Добавим $\sin (1)$ и $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 \cos (0) + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.9

Умножим $0$ на $\cos (0)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 + \sin (0))))$

Этап 9.2.3.10

Добавим $0$ и $\sin (0)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - \sin (0)))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - 0))$

Этап 9.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) + 0))$

Этап 9.3.3

Добавим $- \cos (1) + \sin (1)$ и $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1)))$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Найдем значение $\cos (1)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 1 \cdot 0.5403023 + \sin (1)))$

Этап 9.4.2

Умножим $- 1$ на $0.5403023$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 0.5403023 + \sin (1)))$

Этап 9.4.3

Найдем значение $\sin (1)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 0.5403023 + 0.84147098))$

Этап 9.4.4

Добавим $- 0.5403023$ и $0.84147098$ .

$2 (\sin (1) - 2 \cdot 0.30116867)$

Этап 9.4.5

Умножим $- 2$ на $0.30116867$ .

$2 (\sin (1) - 0.60233735)$

Этап 9.4.6

Найдем значение $\sin (1)$ .

$2 (0.84147098 - 0.60233735)$

Этап 9.4.7

Вычтем $0.60233735$ из $0.84147098$ .

$2 \cdot 0.23913362$

Этап 9.4.8

Умножим $2$ на $0.23913362$ .

$0.47826725$