Математический анализ Примеры

$3 x^{2} \sqrt{5 x + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 3}$ в виде ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 5 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 3$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 3$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{2} (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8.3

Перенесем ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 9

По правилу суммы производная $5 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 12

Умножим $5$ на $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 13

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $5$ и $0$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $5$ .

$3 (\frac{x^{2} \cdot 5}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14.3

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$3 (\frac{5 \cdot x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Этап 16

Перенесем $2$ влево от ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x)$

Этап 17

Объединим $\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Перенесем ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 17.2

Чтобы записать $2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 17.3

Объединим $2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 17.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{5 x^{2} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Умножим $2$ на $2$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Умножим ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Перенесем ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.5

Разделим $2$ на $2$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{1}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Упростим $4 x {(5 x + 3)}^{1}$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Объединим $3$ и $\frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x + 3))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (5 x^{2}) + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.3.1.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 (x \cdot x) \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x^{2} \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3.1.3

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (20 x^{2}) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3.1.4

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3.1.5

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (12 x)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3.1.6

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3.2

Добавим $15 x^{2}$ и $60 x^{2}$ .

$\frac{75 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.4

Вынесем множитель $3 x$ из $75 x^{2} + 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.4.1

Вынесем множитель $3 x$ из $75 x^{2}$ .

$\frac{3 x (25 x) + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.4.2

Вынесем множитель $3 x$ из $36 x$ .

$\frac{3 x (25 x) + 3 x (12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.4.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (25 x) + 3 x (12)$ .

$\frac{3 x (25 x + 12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$