Математический анализ Примеры

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \csc (x)$ . Тогда $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \csc (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Этап 2.1.3

Изменим порядок множителей в $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

Этап 2.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

Этап 2.3.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

Этап 2.5.2

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

Этап 2.5.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

Этап 3

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $- \sqrt{2}$ и в $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2}$ .

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.2

Применим правило умножения к $- (\sqrt{2})$ .

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.4.5

Найдем экспоненту.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.6.2

Перепишем это выражение.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 8.2.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Этап 8.2.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 8.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Этап 8.2.10

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 8.2.11

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Этап 8.2.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2}$

Этап 8.2.12.2

Перепишем это выражение.

$1$