Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} (\frac{27}{x^{4}} - 3) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{1} \frac{27}{x^{4}} - 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} \frac{27}{x^{4}} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 3

Поскольку $27$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$27 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{4}} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$27 \int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{- 1} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot - 1} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 4.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$27 \int_{- 1}^{1} x^{- 4} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$27 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$27 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 6.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$27 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- \frac{1}{3 x^{3}}$ в $1$ и в $- 1$ .

$27 ((- \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) + \frac{1}{3 {(- 1)}^{3}}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Этап 8.2

Найдем значение $- 3 x$ в $1$ и в $- 1$ .

$27 ((- \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) + \frac{1}{3 {(- 1)}^{3}}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$27 (- \frac{1}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3 {(- 1)}^{3}}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$27 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 {(- 1)}^{3}}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$27 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot - 1}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$27 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{- 3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$27 (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.6

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $- \frac{1}{3}$ .

$27 (- 2 (\frac{1}{3})) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.7

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$27 (\frac{- 2}{3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$27 (- \frac{2}{3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.9

Умножим $- 1$ на $27$ .

$- 27 (\frac{2}{3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.10

Объединим $- 27$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{3} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.11

Умножим $- 27$ на $2$ .

$\frac{- 54}{3} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.12

Сократим общий множитель $- 54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $- 54$ .

$\frac{3 \cdot - 18}{3} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 18}{3 (1)} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 18}{1} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.12.2.4

Разделим $- 18$ на $1$ .

$- 18 + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.13

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 18 - 3 + 3 \cdot - 1$

Этап 8.3.14

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 18 - 3 - 3$

Этап 8.3.15

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$- 18 - 6$

Этап 8.3.16

Вычтем $6$ из $- 18$ .

$- 24$

Этап 9