Математический анализ Примеры

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{2 x - x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

Этап 4

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Этап 4.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 4.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- 1}$

Этап 4.4.2.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 4.4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 4.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Этап 4.5.2.1.3

Разделим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Этап 4.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Этап 4.5.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$e = 1$

Этап 4.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{1} = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Изменим порядок $- \sin^{2} (t)$ и $1$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 7.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 7.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Этап 7.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Этап 7.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 7.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Этап 8

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 12

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Тогда $d u_{2} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 12.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 12.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 13

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 15

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Этап 16

Упростим.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 17.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 17.4

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Этап 17.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

Этап 18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Этап 18.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arcsin (x - 1)$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Этап 18.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

Этап 18.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

Этап 19

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

Этап 20

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$