Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \cos (x + 2) + x}{4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 \cos (x + 2) + x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 \cos (x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 2} \cos (x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Этап 8

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 lim_{x \to - 2} \ln (- 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Этап 9

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (lim_{x \to - 2} - 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- lim_{x \to - 2} 3 - lim_{x \to - 2} 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Этап 11

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 1 \cdot 3 - lim_{x \to - 2} 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Этап 12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Этап 13

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Этап 14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{3 \cos (0) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15.1.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{1}{4 \ln (- 3 + 4) + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{1}{4 \ln (1) + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0 + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15.2.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + {(- 2)}^{3}}$

Этап 15.2.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{0 - 8}$

Этап 15.2.6

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{1}{- 8}$

Этап 15.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8}$