Математический анализ Примеры

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Этап 4.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(1 + x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.6.1.2

Разделим $(A) (1 - 2 x)$ на $1$ .

$1 = (A) (1 - 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.6.5

Сократим общий множитель $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 4.1.6.5.2

Разделим $(B) (1 + x)$ на $1$ .

$1 = A - 2 A x + (B) (1 + x)$

Этап 4.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A - 2 A x + B \cdot 1 + B x$

Этап 4.1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A - 2 A x + B + B x$

Этап 4.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - 2 x A + B + B x$

Этап 4.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = A - 2 x A + B + B x$

Этап 4.1.7.3

Перенесем $B$ .

$1 = A - 2 x A + B x + B$

Этап 4.1.7.4

Перенесем $A$ .

$1 = - 2 x A + B x + A + B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 2 A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $B$ в $0 = - 2 A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 A + B = 0$ .

$- 2 A + B = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.3.1.2

Добавим $2 A$ к обеим частям уравнения.

$B = 2 A$

$1 = A + B$

$B = 2 A$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $2 A$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = A + B$ на $2 A$ .

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

Этап 4.3.2.2

Упростим $1 = A + 2 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Добавим $A$ и $2 A$ .

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

Этап 4.3.3

Решим относительно $A$ в $1 = 3 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$B = 2 A$

Этап 4.3.3.2

Разделим каждый член $3 A = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Разделим каждый член $3 A = 1$ на $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Этап 4.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Этап 4.3.3.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $B = 2 A$ на $\frac{1}{3}$ .

$B = 2 (\frac{1}{3})$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Этап 4.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}$

Этап 4.5.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Этап 7

Пусть $u_{1} = 1 + x$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{1} = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 7.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Этап 10

Пусть $u_{2} = 1 - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = 1 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 10.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 10.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 10.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 10.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 10.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 11.2

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 11.3

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 15

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 16

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$